확률 및 통계(한양대 이상화교수님) lec3 : 확률 변수의 정의

Check

- Random variable의 정의는?

- P(X=x)를 이벤트의 관점으로 구할 수 있는가?

- CDF의 정의는?

- PMF의 정의는? PMF를 이용한 discrete에서의 CDF의 정의는?

- 델타 함수란? 어디에 사용되는가?

 

 

 

 

이런 확률 변수를 정의함으로써 p의 input이 A라는 event가 아닌 x라는 real number가 되어서 함수의 개념으로 접근할 수 있게 되었다.

 

이런 식으로 확률 변수를 이용해 p의 함수 값을 계산할 수 있다. 관습적으로 대문자는 확률 변수의 이름, 소문자는 특정한 값으로 사용한다.

 

Random variable X와 실수 x에 대한 distribution functions를 살펴보자. 그 중 CDF가 있는데, 정의는 위와 같다. 말 그대로 x까지의 누적된 확률 값을 내뱉는 함수이다.

 

위와 같은 속성을 가진다.

 

CDF를 알면 그 확률 변수를 완벽하게 아는 것이다. CDF의 정의에 붙은 등호를 잘 고려해서 사용 시에 부등호에 등호를 붙일 지 잘 선택하자.

 

왜냐하면 위와 같이 CDF가 불연속일 때, 등호를 붙이고 안붙이고의 차이가 있기 때문이다.

 

Discrete random variable이다. 여기서는 X가 특정 값일 때의 확률이 0이 아닐 수 있으므로, pmf를 정의하여 사용한다. Discrite일 때의 cdf는 위와 같이 정의한다. pmf를 이용해 cdf의 값을 구할 수 있다.

 

 

델타 함수는 0일 때 1이고 나머지에서 다 0인 함수로 정의된다. f(x)를 그래프로 나타내면 위와 같은데, 델타 함수를 x축에서 이동하고 상수를 곱해서, 그것들의 합으로 f(x)를 저렇게 식으로 나타낼 수 있게 된다.

 

위와 같이 pmf를 하나의 수식으로 표현할 수 있게 된다.

 

pmf를 바탕으로 cdf를 정의하고 그리면 위와 같다.